Устройство кубика
Один из лучших путей подготовить ребенка к изучению математики – использовать особую педагогическую магию кубика.
Кубик является игрушкой. Это объемный предмет, который сам по себе интересен. Его можно взять в руки, можно вертеть и рассматривать с разных сторон. У него есть цвет, материал, шероховатость, вес…
А с точки зрения математики, кубик представляет собой стройную логичную пространственную систему. В нем мы легко находим многие базовые закономерности, которые затем увидим и в других фигурах – как объемных, так и на плоскости.
Поэтому изучение кубика, изучение всех его элементов и “правил конструкции” – это поистине волшебный путь для детишек, чтобы в игре постепенно осваивать данные премудрости, чтобы системно готовить мышление к пониманию более серьезной математики.
Конечно, идеи и методические рекомендации, изложенные в данной статье, лучше воплощать в занятиях очень постепенно, в ходе многих небольших уроков или даже просто как бы между делом, в играх с кубиками и в разговорах о них.
Я не утверждаю, что все упомянутое здесь является обязательным для изучения набором сведений. Вообще в данной теме нет обязательности. Мы находимся среди океана возможностей для развития логики и пространственного мышления. Кубик – это и есть океан…
1. ОСНОВНЫЕ НАЗВАНИЯ
Для начала не спеша разберемся, что у кубика есть 6 граней, 8 вершин и 12 ребер.
Конечно, не надо заучивать количество каждого из этих элементов и их названия. Надо просто дать ребенку кубик и предложить самому сосчитать: сколько есть “острых уголков”, сколько есть плоских сторон, сколько есть границ между плоскими поверхностями.
И совершенно естественно при этом объяснить, что “острые уголки” кубика принято называть вершинами, стороны – гранями, а линии между гранями – ребрами. А потом надо просто использовать данные термины. Тогда они постепенно запомнятся сами собой.
Подсчет количества граней, вершин и ребер – это для самых маленьких детишек не такая уж простая задача. Она требует внимательности.
Лучше всего деликатно помочь ребенку самому найти удобную для него систему подсчета, удобный порядок перебора элементов каждого типа. Пусть это будет небольшое самостоятельное исследование…
При необходимости можно как-то помечать уже сосчитанные вершины, ребра и грани кубика. Например, простым карандашом или маркером, или кусочком пластилина.
Конечно, ничего страшного не будет, если мы и вовсе не запомним количество каждого их этих элементов. Ведь всегда их можно заново сосчитать. Правда?
Ясное дело, надо не забыть обсудить и тот факт, что каждая грань кубика – это квадрат.
2. ДИАГОНАЛИ НА ГРАНЯХ
Если мы выберем одну из граней кубика и соединим на ней противоположные углы прямой линией, то получится диагональ. И мы увидим два одинаковых прямоугольных треугольника. Да?
Затем проведем и вторую диагональ на данной грани – соединив два других угла квадрата.
Итак, мы нарисовали две диагонали. Они пересекаются под прямым углом. И в точке пересечения делятся пополам. Теперь мы видим 4 маленьких одинаковых прямоугольных треугольника. Да?
Так получается, что точка пересечения диагоналей – это центр грани кубика. Это самая середочка грани. Очень важная точка!
Также обратите внимание: каждая диагональ делит свой прямой угол на квадратной грани ровно пополам.
А сколько всего на гранях кубика диагоналей, если их посчитать все вместе? Можно предложить ребенку это сообразить в уме. А можно и провести все эти диагонали и потом их аккуратно пересчитать.
Раскрашивая кубики красками, очень удобно использовать деление каждой грани диагоналями (одной или сразу двумя). Естественный, простой и энергичный подход к дизайну.
3. ЦЕНТР КУБИКА
Чтобы разобраться с тем, где у кубика находится центр, желательно иметь модель, сделанную из тонких палочек или проволочек.
Давайте поговорим сначала об объемных диагоналях. Что это такое?
Возьмем одну из вершин кубика. И возьмем вторую вершину – наискосок через все пространство кубика. И соединим эти две вершины линией. Вот и получится объемная диагональ.
Ее можно сделать как-нибудь наглядно в нашей модели: натянуть ниточку или прикрепить палочку (проволочку) вдоль одной из объемных диагоналей.
А если подходящей модели под рукой нет, то надо разобрать данную тему по рисунку – как на этой иллюстрации. Главное – понять суть дела.
Но сколько же у кубика есть объемных диагоналей?
Прекрасная тема для размышлений! Прямо по модели кубика или по рисунку и поразмышлять… Лучше всего, разумеется, если ребенок справится самостоятельно, если сам сообразит, что объемных диагоналей будет 4 штуки.
И вот что интересно: все 4 объемные диагонали в кубике пересекаются в одной общей точке! И там каждая из них делится ровно пополам!
Это и есть центр кубика, самая его середочка.
Находясь в этой точке, маленький гномик будет располагаться на одинаковом удалении от всех вершин, от всех ребер и от всех граней.
Как вы понимаете, чтобы найти центр кубика, достаточно провести всего лишь две его объемные диагонали и определить место, где они пересекутся.
Или даже достаточно провести всего одну объемную диагональ и на ней найти ее середину.
И еще обратите внимание: если соединить между собой центры противоположных граней прямыми линиями (отрезками), то они тоже пересекутся в центре кубика. И каждая такая линия поделится в точке пересечения пополам.
4. ДЕЛАЕМ КУБИК САМИ
Конечно же, сделать кубик своими руками – это интересно и полезно!
Есть много разных способов.
Можно нарисовать на плотной бумаге или на тонком картоне развертку, а затем ее согнуть и склеить. Получится надежно и практично. Такой кубик уже так просто не развалится. А на его гранях удобно рисовать карандашами и фломастерами. Или даже красками.
А можно взять 12 одинаковых прямых палочек и 8 кусочков пластилина. И собрать модель кубика, в которой видно все внутри. Если вместо пластилина мы используем клей и нитки (надежно связывая и склеивая палочки в углах), то такая конструкция будет вполне прочной и долговечной.
Еще вариант – сложить кубик из бумаги без клея. Для этого нужны три одинаковые полоски по 5 квадратов. Их надо предварительно слегка продавить по линиям сгибов. И сложить потом из них кубик.
Как это сделать? А вот попробуйте сами! Прекрасное (и несложное) развивающее задание для малышей! Типа небольшой головоломки.
Кстати, существуют разные варианты, как сложить из трех таких бумажных полосок кубик. Конструкция может получиться более прочной или менее прочной. При желании потом можно слегка добавить клея – чтобы зафиксировать окончательное положение.
Конечно, никто не мешает нам выпиливать кубики из дерева. Не так уж это и сложно. Зато интересно! Взять деревянную рейку с квадратным сечением – и напилить из нее кубиков столько, сколько захочется.
Кому-то понравится вырезать кубики из поролона.
А кто-то захочет лепить кубики разного размера из пластилина или из глины.
А ведь бывает, что в магазине мы покупаем напиленный одинаковыми маленькими кубиками сахар…
5. ДЕЛИМ КУБИК НА ЧАСТИ
Теперь давайте перейдем уже к более продвинутой тренировке пространственного логического мышления.
Кто-то с содроганием вспомнит уроки стереометрии в 10-11 классах школы и всякие сложные задачки на построение сечений объемных фигур…
Но кубик – самая простая фигура в стереометрии. И дозировать степень сложности заданий не проблема.
Так что очень рекомендую вам вот так в игре (еще до школы или в начальной школе) потихоньку заложить и основы для дальнейших успехов в стереометрии. Стиль мышления там несколько отличается от геометрического мышления в плоскости. Но он доступен и маленьким детям, разумеется.
Что будет, если разрезать кубик плоскостью, проходящей перпендикулярно его ребрам?
Если сечение провести через два противоположных ребра, то какую фигуру мы получим на срезе?
А давайте проведем плоскость сечения наискосок к ребрам и посмотрим, что получится…
Лишь от вас зависит, насколько углубляться в данную тему. Но попробуйте разные варианты хотя бы понемногу. Насладитесь этой игрой.
Плоскость сечения кубика – весьма понятная штука. Требуется лишь некоторая привычка к такому пространственному фантазированию. А когда поймешь основные принципы – становится интересно и легко!
Отдельное удовольствие – рисовать такие картинки. Собственно, именно на картинках и удобнее решать всякие задачи на деление кубика на части.
Важно хорошо понимать не только форму получающегося сечения, но и пространственные объемные объекты, возникающие с обеих сторон от рассекающей плоскости. Из каких двух половинок состоит теперь наш кубик?
Особое значение имеет в данном плане ситуация, когда мы разрезаем кубик вот так наискосок: через противоположные ребра. Посмотрите на картинку!
В конструкторах из таких половинок делают “крыши домиков”, используют в различных других композициях. Очень ходовой элемент.
И всегда можно собрать из двух таких половинок обратно кубик.
Обратите внимание на то, как на рисунке изображаются эти “половинки наискосок”. Не очень-то просто сразу сообразить, как их правильно начертить… Да и повернуть их ведь по-разному можно… Хорошие задачки для развития базовых навыков изображения объемных предметов. Всего лишь чуть-чуть посложнее, чем рисовать целый кубик.
А что будет, если такую “половинку наискосок” снова разделить пополам симметрично?
6. КУБИК ИЗ КУБИКОВ
Еще один прекрасный способ тренировать объемное логическое мышление – делить большой кубик на много одинаковых маленьких. Заодно и таблицу умножения потренируем, и всякие связанные с ней штуки.
Лучше всего, конечно, когда дети проделывают это все руками. То есть когда складывают большие кубики из многих одинаковых маленьких кубиков.
Но частично можно разобраться и по рисункам.
Сколько маленьких кубиков надо взять, чтобы сложить кубик с размером ребра в два раза больше? Давайте попробуем…
А если мы вдруг захотели сделать кубик с ребром в три раза больше – сколько нам тогда понадобится маленьких кубиков?..
И как естественно вводится понятие “куб числа”!
Однако и наоборот тоже интересно: делим большой кубик на много маленьких одинаковых кубиков. Сначала проводим линии на гранях, а затем разрезаем по этим линиям ровно-ровно. И что получится?
В какой-то момент от реальных моделей придется перейти к воображению или к рисованию – для более сложных ситуаций. Ведь слишком долго собирать куб, в котором содержится 1000 крошечных кубиков, укладывая их по 10 штук вдоль каждого ребра! А представить такое труда не составит.
7. КУБИКИ БЕЗ НЕКОТОРЫХ КУСОЧКОВ
На мой взгляд, особенно интересно для детишек знакомиться с кубиками, из которых убрали какой-то небольшой кусочек.
Например, отрезали и выкинули уголок кубика.
Или проделали в кубике квадратную дырку насквозь.
Или выпилили на одной из граней прямоугольную в сечении ложбинку параллельно ребрам.
Или сделали “ступеньку”…
Наверное, все такие ситуации проще рисовать, а не делать реально на кубиках из дерева или пластилина. Хотя кому-то захочется именно выполнить модель – и рассмотреть, как будет все получаться.
Круглые дырки в кубиках – тоже вариант.
И важно понять, когда на рисунке мы видим дырку насквозь, а когда она лишь обозначена на обращенной к нам грани, но насквозь не видно. Все зависит от размера отверстия.
Так мы тренируем навык изображения объемных предметов. Он нужен и в геометрии, и в физике, и в черчении, и в рисовании…
8. ПЛОСКОСТИ СИММЕТРИИ
Понятие о симметрии является одним из важнейших не только в математике, но и вообще для развития образного мышления. Поэтому чем раньше дети начнут с ним знакомиться – тем лучше.
Увидеть в кубике плоскости симметрии – задача для ребенка не слишком сложная. Кто-то догадается сам, а кому-то понадобятся наводящие подсказки взрослых. Но в итоге каждому станет ясно: вот разделили кубик плоскостью, с обеих сторон которой все одинаково, то есть симметрично.
Чем-то похоже на то, как мы проводим плоскость симметрии в человеке: правая половина и левая половина тела одинаковы, зеркально симметричны. И кубик точно так же делим на равные половинки.
На иллюстрации тут легко найти пары точек, симметричных друг другу относительно проведенных плоскостей симметрии. Они находятся по разные стороны от плоскости симметрии и на одинаковом расстоянии от нее.
Обратите внимание: для кубика получается довольно много вариантов, как можно провести плоскость симметрии! Давайте попробуем их всех найти! Сколько всего их будет? Как в них не запутаться при подсчете?
Вы нашли все 9 штук?
Важно: все плоскости симметрии кубика проходят через его центр.
Разумеется, дело вовсе не в том, чтобы ребенок это запоминал. Главное – развивать логическое образное мышление, учиться “думать в пространстве”. Надо понять суть явления симметрии – в данном случае на примере разных элементов кубика.
9. ОСИ СИММЕТРИИ
Осевая симметрия легко понимается ребенком на плоской картинке. Однако в объемном предмете увидеть и понять осевую симметрию несколько сложнее.
Главное – хотя бы просто познакомить ребенка с самой идеей: у кубика есть оси симметрии.
А как они проходят? Вот я для начала нарисовал на картинке 3 штуки – те, которые проходят через центры граней и перпендикулярны им.
Кстати: все они проходят через центр кубика.
Как устроена осевая симметрия?
Вот, скажем, на этой картинке есть точка A и точка B. Они симметричны относительно проведенной оси. Если провести отрезок AB, то он будет к этой оси перпендикулярен и в точке пересечения с ней поделится пополам. Точки A и B находятся на одинаковом расстоянии от оси симметрии, строго с ее разных сторон.
Точно так же точки C и D на картинке сверху симметричны относительно проведенной оси. И точки E и F симметричны друг другу.
Однако у кубика есть еще 6 других осей симметрии. Они проходят через середины противоположных ребер.
Для одной из них я сделал специальную картинку. На ней точка A симметрична точке B, а еще точка E симметрична точке F.
Но по картинке симметрия тут не очень понятна… Лучше все же с детьми ее разбирать на реальных пространственных моделях.
Если кубик повернуть вокруг одной из его осей симметрии на пол-оборота, то он совместится сам с собой. То есть все симметричные точки перейдут друг в друга. Суть именно такова.
Отличать осевую симметрию от симметрии через плоскость – это важно. Пусть ребенок хотя бы просто познакомится с различиями в логике построения, в логике пространственных соотношений для данных двух типов преобразований. Конечно, не нужно строгих математических формулировок. Надо уловить принцип, саму идею.
Вокруг нас есть множество реальных объектов с осями симметрии и с плоскостями симметрии. Давайте разберемся и с ними – после того, как что-то поняли на примере кубика…
Скажем, возьмем обычное яблоко. Сколько у него осей симметрии и плоскостей симметрии?
А кто-то захочет наоборот: сначала разобраться с яблоком, а уж затем переходить к кубику… Дело индивидуального вкуса.
Хочу сказать: тема симметрии в кубике (осевой и относительно плоскости) лишь с непривычки кажется сложной, однако после привыкания все делается ясным и интуитивно понятным. Ведь так устроена природа. Все очень естественно. Любые формы симметрии являются глубинно близкими для нашего восприятия.
10. МЫ ВНУТРИ КУБИКА
Очень хочется залезть в кубик! Нам надо лишь волшебным образом уменьшиться в размерах.
Забавные картинки с человечками внутри кубика рисовать всегда интересно для детишек. А если добавить к ним еще и кошек, собак, обезьянок, птичек… – то будет еще веселее.
Но здесь присутствует и очень серьезный аспект развития пространственного логического мышления: умение взглянуть на объект как бы изнутри его конструкции, с разных точек зрения, под различными углами и в разных направлениях…
Чрезвычайно полезный навык! Он пригодится во всех логических дисциплинах, в художественном творчестве, в любом техническом моделировании, конструировании. Да и просто по жизни.
Игра наоборот: мы остались обычного размера, но как будто пришли в парк аттракционов, где установлены большие-большие кубики со всякими линиями и плоскостями внутри них.
Мы запросто ходим между ребер кубика, лазаем по его объемным диагоналям и по плоскостям сечения, смотрим наверх, вниз и в стороны… Что и как мы видим?
Или же мы находимся внутри комнаты кубической формы. И хотим натянуть веревочку, изображающую одну из объемных диагоналей нашего куба…
Но лично мне все же гораздо больше нравится представлять себя маленьким- маленьким и забираться внутрь небольшого обычного кубика. Так волшебнее!
11. БЕЗГРАНИЧНОЕ РАЗВИТИЕ
Разумеется, вы можете сами придумать сколько угодно дополнений к тому, что я тут уже рассказал. Кубики – поистине неисчерпаемая тема! Их простое волшебство дает ребенку ключи к огромному диапазону логических процедур и логических пространств. А главное, играть с кубиками – это просто интересно!
Кто-то захочет вспомнить еще одну важную фигуру – шар. Его вполне возможно вписать в кубик (то есть плотно, без зазоров положить внутрь, так чтобы он касался всех шести граней). Каким тогда должен быть диаметр шара?
Или наоборот: давайте засунем кубик внутрь шара, впишем его в сферу – так чтобы все 8 вершин оказались именно на поверхности этой сферы.
Обратите внимание: в обоих случаях центр кубика совпадает с центром данной сферы (шара).
Кто-то очаруется раскрашиванием кубиков или рисованием на их гранях… Я как художник много экспериментирую в данном направлении (просто для собственного развлечения, для удовольствия, как своеобразный тренинг). Художественные игры с кубиками откроют детям и взрослым массу живых творческих впечатлений…
Еще, конечно, уместно поговорить с детишками о великой роли кубиков в физике – с самых древнейших времен существования этой науки.
Маленький кубический сантиметр (его, кстати, легко сделать дома своими руками) – чудесный объект, открывающий путь к пониманию таких тем, как объем и плотность тел.
Да и про кубик размером 10х10х10 см тоже поговорить стоит. Кубический дециметр – это же просто всем нам известный литр! А один литр чистой воды весит ровно один килограмм! Вот так!
А вы представляете себе куб размером метр на метр на метр? И пусть он будет сделан из стали! Или изо льда! Или это картонная коробка такая… Представляете?
Кстати, если взять кубический метр чистой воды, то он будет весить ровно тонну.
Ну а кто-то захочет рассказать детишкам о том, как в кубике красиво работает теорема Пифагора: длины диагоналей на гранях и длины объемных диагоналей легко вычислить, если знать длину ребра.
Складывать из большого числа одинаковых кубиков разнообразные объемные фигуры – тоже увлекательное занятие. А математическое волшебство в нем уже присутствует…
Словом, изучайте с детишками кубики! Играйте с их живой и очень наглядной математикой! Привыкайте к их простой магии!
