Теорема Пифагора в начальной школе
Некоторым детям не очень интересна математика, которую они начинают изучать в 1 классе и далее. Так бывает. И что же с этим делать?
Один из вариантов решения проблемы – показывать интересные вещи из более серьезных разделов.
И здесь теорема Пифагора весьма уместна!
Она проста, понятна, изящна, наглядна… Она применяется очень широко…
Как только ребенок освоил таблицу умножения – уже вполне можно познакомить его и с теоремой Пифагора. И обязательно при этом надо рассказать, какое важное место она занимает – и в математике, и в физике, и вообще в истории…
С чего же начать?
Конечно, с понятия “квадрат числа”.
Разобрать его легче всего просто на основе знания таблицы умножения.
Сначала сообразим, как возвести в квадрат числа 2, 3, 4, 5, 6.
Далее разберемся с квадратами чисел 7, 8, 9, 10. Здесь тоже все вполне ясно, только требуется чуть больше внимательности.
Важно хорошо усвоить: квадрат числа – это число, умноженное само на себя.
А если трудно в уме сообразить, то можно и столбиком умножить.
Если умножение столбиком мы еще не проходили, то для начала достаточно и счета в пределах 100.
Главное – освоить понятие “квадрат числа”.
А откуда пошло такое название?
Давайте раскладывать камушки ровными рядами в квадраты. Так, кстати, и делали древние греки две с половиной тысячи лет назад, когда размышляли о математике. Они раскладывали камушки и считали их.
Чтобы вычислить количество камушков в таком квадрате, надо число рядов умножить на число столбцов. То есть надо число умножить само на себя. Поэтому и стали так говорить: “квадрат числа”.
А еще можно понять через вычисление площади фигуры, которая называется квадратом.
Мы перемножаем длины сторон – и узнаем количество маленьких квадратных сантиметров во всем данном квадрате. То есть мы узнаем его площадь.
Большинство детей уже в 1 классе (а то и гораздо раньше) знают, что такое треугольник. И знают, что треугольники бывают остроугольные, тупоугольные и прямоугольные.
Поэтому просто рисуем прямоугольный треугольник и объясняем два новых слова: “гипотенуза” и “катет”.
Обратим внимание: длина гипотенузы всегда больше, чем длина любого из катетов. Это чрезвычайно важно понимать и помнить!
А еще удобно всегда отмечать на рисунке прямой угол – специальным значком.
Теперь формулируем теорему Пифагора.
Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
И сразу напишем формулу.
На рисунке обозначим катеты латинскими буквами a и b. А гипотенузу обозначим латинской буквой c.
Конечно, надо подробно и не спеша все обсудить с ребенком, объяснить ему данные традиционные обозначения и смысл данной формулы…
Немного непривычно?
Да.
Но зато мы соприкасаемся с фундаментальной математикой! Мы ощущаем ее энергию!
И наш маленький ученик вдруг делает для себя неожиданное открытие: он может понять “древнюю и знаменитую теорему Пифагора”!
Показать то, как она работает, лучше сначала на самом простом примере. И это, разумеется, “египетский треугольник”. Его стороны равны 3, 4 и 5.
Ясное дело, уместно поговорить немного и о Древнем Египте, о строителях огромных пирамид, об их потрясающих познаниях в геометрии…
Веревка с узлами, находящимися на одинаковом расстоянии друг от друга, использовалась древними египтянами для построения больших прямоугольных треугольников на местности, для обтесывания каменных глыб в прямоугольную форму, а также для других подобных нужд.
И с тех пор такой прямоугольный треугольник и прозвали “египетским”.
Но для чего нужна теорема Пифагора?
Почему она так важна?
Дело в том, что, пользуясь теоремой Пифагора, мы легко можем, зная две стороны в прямоугольном треугольнике, найти третью сторону!
Дальше, разумеется, надо перейти к решению простых задач.
И каждый раз обязательно рисуем чертеж!
А на чертеже подписываем известные нам стороны. И ставим знак вопроса около той стороны, которую мы хотим найти.
Естественно, проще начинать с нахождения гипотенузы по катетам.
Мы уже умеем возводить числа в квадрат и умеем потом складывать эти квадраты.
Но важно осознать, что мы получаем не длину гипотенузы c, а пока лишь квадрат гипотенузы.
Как же теперь найти c?
Ну, можно просто догадаться…
Далее перед нами разные пути.
Можно предлагать ребенку просто догадываться, какое же число надо умножить само на себя, чтобы получить то, что перед нами. В некоторых случаях сделать это совсем просто. И так ребенок будет находить длину гипотенузы c. Для начала такой путь вполне хорош.
Для более сложных случаев (когда мы уже выходим при вычислениях за пределы 100) можно действовать подбором: прикидывать, какой примерно должна быть гипотенуза, а потом возводить в квадрат близкие к этому значения числа.
А можно и поговорить о том, что такое вообще корень из числа. Конечно, это получится уже более сложный и долгий разговор. Его имеет смысл затевать, если ученик интересуется данным вопросом. А если особого интереса вы не заметили, то, наверное, и нет нужды отвлекаться на такую глобальную тему.
Главное – сделать первый шаг.
Ребенок сам вычисляет одну из сторон прямоугольного треугольника (гипотенузу) по двум другим сторонам (катетам).
Ученик начальной школы видит, как работает “большая и серьезная математика”. И не просто видит, а сам использует продвинутый древний метод – знаменитую теорему Пифагора.
И тут нам как раз очень в помощь будут все так называемые “пифагоровы треугольники” – то есть те, у которых все три стороны выражены целыми числами. Ведь в начальной школе дети обычно еще не знакомы с десятичными дробями.
В Интернете легко найти множество вариантов, огромный список “пифагоровых троек”. Но удобнее, конечно, использовать те, в которых числа не очень большие. Здесь я выписал некоторые такие наборы.
Обратите внимание: из любой простейшей “пифагоровой тройки” легко получить и много связанных с ней других “пифагоровых троек”.
Достаточно умножить все числа в “пифагоровой тройке” на одно и то же целое число – и мы получим новую “пифагорову тройку”.
Через какое-то время надо переходить к заданиям, в которых надо находить неизвестный катет. При этом известна гипотенуза и известен другой катет.
Вот, скажем, такая ситуация:
Важно тщательно, вдумчиво и не спеша порешать какое-то количество подобных задач – с разными числами, с различным расположением треугольников…
Разумеется, мы заодно тренируемся и в умножении, и в сложении, и в вычитании, и в решении простейших уравнений, и в понимании чисел…
На мой взгляд, очень полезно предлагать ребенку задания на теорему Пифагора и вот в таком виде:
По рисунку ученик сам определяет известные катеты каждого прямоугольного треугольника. И заодно привыкает к самой идее координатной плоскости.
Есть два пути:
1) просто посчитать клеточки вдоль каждого катета – и так узнать его длину;
2) вычислить величину катета как разность между координатами его концов.
Важно понять, что оба эти способа дают один и тот же результат.
Интересно попробовать по-разному поворачивать прямоугольные треугольники в системе координат. Это может быть весьма интересная практика. На бумаге в клеточку легко строить прямоугольные треугольники на основе многих “пифагоровых троек”, даже с большими числами. Можно долго так играть…
А что же дальше?
Надо переходить к примерам из жизни.
Допустим, мы шагаем по улице, а затем поворачиваем на перекрестке под прямым углом и так идем до пункта назначения.
Другой вариант: мы решили пройти наискосок, через поле, безо всякой дороги.
Какой путь короче и на сколько?
При желании вы можете придумать множество примеров из жизни, где нам очень помогает знание теоремы Пифагора. Также подходят и всякие сказочные или фантастические ситуации.
Кошка размышляет о том, каково расстояние между мухами №1 и №2. Как ей сообразить?
Теорема Пифагора используется и при решении задач в более сложных геометрических фигурах.
Как найти длинную нижнюю сторону AD данной трапеции ABCD?
Совсем не так уж трудно, как может показаться на первый взгляд. Применим теорему Пифагора в маленьких одинаковых прямоугольных треугольниках ABM и NCD по бокам. А потом легко вычислим и длину AD всей нижней стороны трапеции.
Как определить периметр ромба ABCD?
Достаточно вспомнить, что диагонали любого ромба перпендикулярны друг другу и в точке пересечения делятся пополам.
И сразу мы видим, как применить теорему Пифагора!
Разумеется, уместно немножко поговорить и о том, что далеко не всегда стороны прямоугольного треугольника представляют собой именно целые числа. Когда мы пройдем десятичные дроби, то научимся и с такими ситуациями справляться.
А пока и так ясно, чему здесь примерно равна длина гипотенузы BC:
И еще чрезвычайно полезно привести примеры с объемными предметами.
Здесь, например, мы используем формулу теоремы Пифагора дважды. Сначала находим диагональ DM боковой грани данного прямоугольного параллелепипеда. А затем уже вычисляем объемную диагональ AM.
Лично я люблю примеры из физики.
Вот падает капелька дождя. За секунду она пролетает вниз 8 метров. Такова ее собственная скорость падения.
Подул боковой ветер. Его скорость равна 6 метров в секунду. Он сносит капельку вбок. Но она, конечно, все равно продолжает падать и вниз.
Какое же расстояние в воздухе будет теперь пролетать капелька дождя за одну секунду? Какова будет ее полная скорость движения?
Для расширения кругозора не забудьте иногда использовать и большие числа.
И поворачивать прямоугольные треугольники по-разному тоже не забудьте.
Чем больше вариантов – тем веселее!
Итак, теорема Пифагора в начальной школе – это вполне реально. Прекрасная тема для изучения!
Мы осваиваем один из самых фундаментальных элементов в огромном здании математики. Древняя, прекрасная и строгая геометрия! Ясная и четкая логика!
Может быть, для кого-то дружба с математикой как раз и начнется с теоремы Пифагора…
