Теорема Пифагора в начальной школе

teorema-pifagora-1

Некоторым детям не очень интересна математика, которую они начинают изучать в 1 классе и далее. Так бывает. И что же с этим делать?

Один из вариантов решения проблемы – показывать интересные вещи из более серьезных разделов.

И здесь теорема Пифагора весьма уместна!

Она проста, понятна, изящна, наглядна… Она применяется очень широко…

Как только ребенок освоил таблицу умножения – уже вполне можно познакомить его и с теоремой Пифагора. И обязательно при этом надо рассказать, какое важное место она занимает – и в математике, и в физике, и вообще в истории…

С чего же начать?

Конечно, с понятия “квадрат числа”.

Разобрать его легче всего просто на основе знания таблицы умножения.

Сначала сообразим, как возвести в квадрат числа 2, 3, 4, 5, 6.

teorema-pifagora-2

Далее разберемся с квадратами чисел 7, 8, 9, 10. Здесь тоже все вполне ясно, только требуется чуть больше внимательности.

teorema-pifagora-3

Важно хорошо усвоить: квадрат числа – это число, умноженное само на себя.

А если трудно в уме сообразить, то можно и столбиком умножить.

teorema-pifagora-4

Если умножение столбиком мы еще не проходили, то для начала достаточно и счета в пределах 100.

Главное – освоить понятие “квадрат числа”.

А откуда пошло такое название?

Давайте раскладывать камушки ровными рядами в квадраты. Так, кстати, и делали древние греки две с половиной тысячи лет назад, когда размышляли о математике. Они раскладывали камушки и считали их.

Чтобы вычислить количество камушков в таком квадрате, надо число рядов умножить на число столбцов. То есть надо число умножить само на себя. Поэтому и стали так говорить: “квадрат числа”.

teorema-pifagora-5

А еще можно понять через вычисление площади фигуры, которая называется квадратом.

Мы перемножаем длины сторон – и узнаем количество маленьких квадратных сантиметров во всем данном квадрате. То есть мы узнаем его площадь.

teorema-pifagora-6

Большинство детей уже в 1 классе (а то и гораздо раньше) знают, что такое треугольник. И знают, что треугольники бывают остроугольные, тупоугольные и прямоугольные.

Поэтому просто рисуем прямоугольный треугольник и объясняем два новых слова: “гипотенуза” и “катет”.

Обратим внимание: длина гипотенузы всегда больше, чем длина любого из катетов. Это чрезвычайно важно понимать и помнить!

А еще удобно всегда отмечать на рисунке прямой угол – специальным значком.

teorema-pifagora-7

Теперь формулируем теорему Пифагора.

Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

И сразу напишем формулу.

На рисунке обозначим катеты латинскими буквами a и b. А гипотенузу обозначим латинской буквой c.

teorema-pifagora-8

Конечно, надо подробно и не спеша все обсудить с ребенком, объяснить ему данные традиционные обозначения и смысл данной формулы…

Немного непривычно?

Да.

Но зато мы соприкасаемся с фундаментальной математикой! Мы ощущаем ее энергию!

И наш маленький ученик вдруг делает для себя неожиданное открытие: он может понять “древнюю и знаменитую теорему Пифагора”!

Показать то, как она работает, лучше сначала на самом простом примере. И это, разумеется, “египетский треугольник”. Его стороны равны 3, 4 и 5.

teorema-pifagora-9

Ясное дело, уместно поговорить немного и о Древнем Египте, о строителях огромных пирамид, об их потрясающих познаниях в геометрии…

Веревка с узлами, находящимися на одинаковом расстоянии друг от друга, использовалась древними египтянами для построения больших прямоугольных треугольников на местности, для обтесывания каменных глыб в прямоугольную форму, а также для других подобных нужд.

И с тех пор такой прямоугольный треугольник и прозвали “египетским”.

teorema-pifagora-10

Но для чего нужна теорема Пифагора?

Почему она так важна?

Дело в том, что, пользуясь теоремой Пифагора, мы легко можем, зная две стороны в прямоугольном треугольнике, найти третью сторону!

Дальше, разумеется, надо перейти к решению простых задач.

И каждый раз обязательно рисуем чертеж!

А на чертеже подписываем известные нам стороны. И ставим знак вопроса около той стороны, которую мы хотим найти.

Естественно, проще начинать с нахождения гипотенузы по катетам.

teorema-pifagora-11

Мы уже умеем возводить числа в квадрат и умеем потом складывать эти квадраты.

Но важно осознать, что мы получаем не длину гипотенузы c, а пока лишь квадрат гипотенузы.

Как же теперь найти c?

Ну, можно просто догадаться…

teorema-pifagora-12

Далее перед нами разные пути.

Можно предлагать ребенку просто догадываться, какое же число надо умножить само на себя, чтобы получить то, что перед нами. В некоторых случаях сделать это совсем просто. И так ребенок будет находить длину гипотенузы c. Для начала такой путь вполне хорош.

Для более сложных случаев (когда мы уже выходим при вычислениях за пределы 100) можно действовать подбором: прикидывать, какой примерно должна быть гипотенуза, а потом возводить в квадрат близкие к этому значения числа.

teorema-pifagora-13

А можно и поговорить о том, что такое вообще корень из числа. Конечно, это получится уже более сложный и долгий разговор. Его имеет смысл затевать, если ученик интересуется данным вопросом. А если особого интереса вы не заметили, то, наверное, и нет нужды отвлекаться на такую глобальную тему.

Главное – сделать первый шаг.

Ребенок сам вычисляет одну из сторон прямоугольного треугольника (гипотенузу) по двум другим сторонам (катетам).

Ученик начальной школы видит, как работает “большая и серьезная математика”. И не просто видит, а сам использует продвинутый древний метод – знаменитую теорему Пифагора.

teorema-pifagora-14

И тут нам как раз очень в помощь будут все так называемые “пифагоровы треугольники” – то есть те, у которых все три стороны выражены целыми числами. Ведь в начальной школе дети обычно еще не знакомы с десятичными дробями.

В Интернете легко найти множество вариантов, огромный список “пифагоровых троек”. Но удобнее, конечно, использовать те, в которых числа не очень большие. Здесь я выписал некоторые такие наборы.

teorema-pifagora-15

Обратите внимание: из любой простейшей “пифагоровой тройки” легко получить и много связанных с ней других “пифагоровых троек”.

Достаточно умножить все числа в “пифагоровой тройке” на одно и то же целое число – и мы получим новую “пифагорову тройку”.

teorema-pifagora-16

Через какое-то время надо переходить к заданиям, в которых надо находить неизвестный катет. При этом известна гипотенуза и известен другой катет.

Вот, скажем, такая ситуация:

teorema-pifagora-17

Важно тщательно, вдумчиво и не спеша порешать какое-то количество подобных задач – с разными числами, с различным расположением треугольников…

Разумеется, мы заодно тренируемся и в умножении, и в сложении, и в вычитании, и в решении простейших уравнений, и в понимании чисел…

На мой взгляд, очень полезно предлагать ребенку задания на теорему Пифагора и вот в таком виде:

teorema-pifagora-18

По рисунку ученик сам определяет известные катеты каждого прямоугольного треугольника. И заодно привыкает к самой идее координатной плоскости.

Есть два пути:

1) просто посчитать клеточки вдоль каждого катета – и так узнать его длину;

2) вычислить величину катета как разность между координатами его концов.

Важно понять, что оба эти способа дают один и тот же результат.

Интересно попробовать по-разному поворачивать прямоугольные треугольники в системе координат. Это может быть весьма интересная практика. На бумаге в клеточку легко строить прямоугольные треугольники на основе многих “пифагоровых троек”, даже с большими числами. Можно долго так играть…

А что же дальше?

Надо переходить к примерам из жизни.

Допустим, мы шагаем по улице, а затем поворачиваем на перекрестке под прямым углом и так идем до пункта назначения.

Другой вариант: мы решили пройти наискосок, через поле, безо всякой дороги.

Какой путь короче и на сколько?

teorema-pifagora-19

При желании вы можете придумать множество примеров из жизни, где нам очень помогает знание теоремы Пифагора. Также подходят и всякие сказочные или фантастические ситуации.

Кошка размышляет о том, каково расстояние между мухами №1 и №2. Как ей сообразить?

teorema-pifagora-20

Теорема Пифагора используется и при решении задач в более сложных геометрических фигурах.

Как найти длинную нижнюю сторону AD данной трапеции ABCD?

Совсем не так уж трудно, как может показаться на первый взгляд. Применим теорему Пифагора в маленьких одинаковых прямоугольных треугольниках ABM и NCD по бокам. А потом легко вычислим и длину AD всей нижней стороны трапеции.

teorema-pifagora-21

Как определить периметр ромба ABCD?

Достаточно вспомнить, что диагонали любого ромба перпендикулярны друг другу и в точке пересечения делятся пополам.

И сразу мы видим, как применить теорему Пифагора!

teorema-pifagora-22

Разумеется, уместно немножко поговорить и о том, что далеко не всегда стороны прямоугольного треугольника представляют собой именно целые числа. Когда мы пройдем десятичные дроби, то научимся и с такими ситуациями справляться.

А пока и так ясно, чему здесь примерно равна длина гипотенузы BC:

teorema-pifagora-23

И еще чрезвычайно полезно привести примеры с объемными предметами.

Здесь, например, мы используем формулу теоремы Пифагора дважды. Сначала находим диагональ DM боковой грани данного прямоугольного параллелепипеда. А затем уже вычисляем объемную диагональ AM.

teorema-pifagora-24

Лично я люблю примеры из физики.

Вот падает капелька дождя. За секунду она пролетает вниз 8 метров. Такова ее собственная скорость падения.

Подул боковой ветер. Его скорость равна 6 метров в секунду. Он сносит капельку вбок. Но она, конечно, все равно продолжает падать и вниз.

Какое же расстояние в воздухе будет теперь пролетать капелька дождя за одну секунду? Какова будет ее полная скорость движения?

teorema-pifagora-25

Для расширения кругозора не забудьте иногда использовать и большие числа.

И поворачивать прямоугольные треугольники по-разному тоже не забудьте.

Чем больше вариантов – тем веселее!

teorema-pifagora-26

Итак, теорема Пифагора в начальной школе – это вполне реально. Прекрасная тема для изучения!

Мы осваиваем один из самых фундаментальных элементов в огромном здании математики. Древняя, прекрасная и строгая геометрия! Ясная и четкая логика!

Может быть, для кого-то дружба с математикой как раз и начнется с теоремы Пифагора…