Пропорциональность

proporc1

Прямая и обратная пропорциональные зависимости обычно изучаются в курсе математики в 6 классе. Это достаточно простая и понятная тема. И чаще всего у школьников не возникает с ней особых проблем.

Однако не всегда преподаватели или составители учебников по математике задаются целью эту тему проакцентировать – с учетом ее очень важной роли для последующего изучения физики и химии.

Прямая и обратная пропорциональные зависимости встречаются в физических явлениях буквально на каждом шагу. Это одна из самых используемых математических вещей в физике. На нее опираются объяснения и рассуждения, понимание и решение задач во всех разделах школьного курса.

proporc2

Например, увеличили вдвое массу летящего астероида – и вдвое возросла его кинетическая энергия. Конечно, если при этом скорость мы не меняли.

Во сколько раз сделали больше одно (массу), во столько же раз сделалось больше и другое (энергия). Это прямая пропорциональность. Кинетическая энергия объекта прямо пропорциональна его массе.

Кстати, все работает и в обратную сторону: если мы уменьшим массу астероида вдвое, то и его кинетическая энергия уменьшится вдвое (при той же самой скорости).

proporc3

А тут увеличили в 4 раза объем закрытого сосуда с газом – и давление в этом газе уменьшилось в 4 раза.

Это обратная пропорциональность. Во сколько раз одно увеличили (объем), во столько же раз другое уменьшилось (давление). Давление газа в закрытом сосуде обратно пропорционально объему.

И в другую сторону тоже это работает: если теперь объем газа уменьшить, скажем, в 5 раз, то давление возрастет тоже в 5 раз.

proporc4

Вы можете полистать учебники физики – и найдете сколько угодно таких примеров в любом разделе.

Вот, скажем, на данной картинке иллюстрируется закон Гука. Удлинение пружины прямо пропорционально растягивающей силе (в данном случае это вес груза).

Слова “во сколько раз увеличили один параметр, во столько же раз увеличился и другой параметр” – это должно быть ясным и привычным. Это совершенно не должно смущать.

proporc5

Точно так же и слова “во сколько раз увеличили одну физическую величину, во столько же раз уменьшилась другая физическая величина” – это должно быть абсолютно привычным и ясным.

Обычный пример из учебника: мальчик массой M на лыжах. Мы легко можем подсчитать его давление на снег, зная площадь лыж S. А давайте представим, что мы дали этому парню лыжи больше по площади: вдвое, втрое… Что будет с давлением, которое он оказывает на снег? Оно увеличится или уменьшится?

Давление обратно пропорционально площади опоры. Ясно, что оно будет становиться вдвое, второе… меньше исходного.

proporc6

Физика – это наука о связях между различными измеряемыми величинами. И так уж почему-то устроен наш мир, что прямая пропорциональность и обратная пропорциональность – это две важнейшие формы отношений между физическими параметрами.

Исторически ученые определяли это чисто экспериментально. Они ставили опыты и делали измерения. И очень часто оказывалось так: во сколько раз увеличили один параметр, во столько же раз увеличился и другой параметр. То есть имела место прямая пропорциональная зависимость. Такой обнаруживался закон природы.

А иногда получалось наоборот: во сколько раз увеличивали один параметр, во столько же раз уменьшалось значение другого. То есть имела место обратная пропорциональная зависимость.

А потом уже ученые писали формулы, выражавшие данные закономерности.

Хотя в физике полно и всяких сложных формул, в школьном курсе изучаются как раз самые простые вещи, самые простые законы. И там прямая и обратная пропорциональность присутствуют почти везде.

proporc7

Общее представление, которое дается в курсе математики о прямой пропорциональности и об обратной пропорциональности, является именно общим, обзорным, универсальным для любых случаев в жизни.

А в физике данные математические вещи применяются к самым разным конкретным законам природы, к определению физических величин.

В физике мы просто уже говорим: “Смотрите, во втором законе Ньютона ускорение тела прямо пропорционально приложенной к нему силе и обратно пропорционально массе данного тела”.

Или: “Смотрите, давление воды в океане по мере нашего погружения прямо пропорционально глубине”.

Или: “Согласно закону Ома, сила тока в проводнике обратно пропорциональна сопротивлению данного проводника”.

Здесь, конечно, важно понимать и то, как прямая и обратная пропорциональности выражаются в формулах.

Смотрим на формулу второго закона Ньютона и сразу же видим: во сколько раз увеличим силу, во столько же раз увеличится ускорение (при фиксированной массе); а во сколько раз увеличим массу (при фиксированной силе), во столько же раз ускорение уменьшится.

Почти все формулы в школьном курсе физики изучать гораздо проще, если уметь видеть и понимать в них прямую пропорциональную зависимость и обратную пропорциональную зависимость.

proporc8

Однако для абсолютного большинства учеников мышление в картинках – это гораздо лучше и удобнее, чем мышление в формулах.

Поэтому графики при изучении физики играют огромную роль!

Если на координатной плоскости изобразить, скажем, связь приложенного к проводнику напряжения и тока в этом проводнике, то получится прямая линия. Фактически, это будет график прямой пропорциональной зависимости между напряжением и силой тока.

proporc9

Точно так же дело обстоит и с графиком обратной пропорциональной зависимости. Надо один раз хорошо разобраться, как устроены все такие картинки. И тогда ученик будет узнавать их при встрече. И понимать каждую физическую тему будет гораздо легче.

К примеру, график зависимости давления в газе от его объема. Это ниспадающая кривая. Она называется гиперболой. Как раз обратная пропорциональная зависимость.

proporc10

Обратите внимание на нюансы.

Скажем, как изменится график зависимости тока от напряжения, если мы возьмем другой проводник, у которого сопротивление побольше или поменьше?

Такие штуки очень важно научиться хорошо осознавать. И тут дело не столько в конкретной теме по физике, сколько в общей математической идее, которая используется в описании множества самых разных физических явлений.

proporc11

Или вот график зависимости пройденного пути от времени при равномерном прямолинейном движении. Он представляет собой прямую линию, так как тут прямая пропорциональная зависимость. Как он изменится, если объект увеличит свою скорость?

Чтобы легко и уверенно отвечать на такие вопросы, в принципе, достаточно знаний из соответствующего раздела математики. Но в физике есть своя специфика, она поначалу немного пугает школьников. Многим сразу не очевидно, что это темы, “которые мы уже проходили в курсе математики”. Важно показать ученику, что это та же самая обычная пропорциональность.

proporc12

Еще обратите внимание: по графику мы можем как бы двигаться, как бы скользить по нему – в одну сторону или в другую. Это очень удобный образ для понимания математических и физических взаимосвязей между величинами.

Скажем, здесь мы сначала были в точке A – с соответствующими значениями объема газа и его давления. Затем мы стали увеличивать объем (перемещая поршень в сосуде). То есть мы двинулись по данной кривой вправо и вниз. Давление стало уменьшаться. И вот мы пришли в точку B. Это был процесс, обозначенный тут стрелочкой с цифрой 1.

А затем мы стали уменьшать объем газа (смещая поршень в обратную сторону). То есть двинулись по графику в обратную сторону, влево и вверх. Это уже процесс, обозначенный цифрой 2. Давление растет. И мы снова постепенно придем в точку A.

Вот как работает обратная пропорциональность. По графику мы можем это наглядно разобрать – на примере конкретного физического процесса.

proporc13

Наверное, начинать осмыслять все такие штуки удобнее всего через тему прямолинейного равномерного движения, которая знакома детям с начальной школы. Это вполне можно делать и в устных занятиях, где-нибудь на прогулке или в поездке… И брать, разумеется, лучше самые простые числа – чтобы не мучиться со счетом, а сосредоточить внимание на сути дела.

Если, допустим, мы шагаем со скоростью 5 км/ч и делаем это 2 часа подряд, то, ясное дело, пройденный путь составит 10 км.

А если мы с той же скоростью 5 км/ч шагаем 6 часов подряд (то есть в 3 раза дольше), то пройденный путь будет уже 30 км (то есть тоже в 3 раза больше).

Получается, что путь прямо пропорционален времени движения в данном случае (скорость наша неизменна).

Ну и в таком духе имеет смысл по-всякому поиграть с этой простейшей формулой.

Мы можем фиксировать время движения, тогда путь будет прямо пропорционален скорости.

А можем фиксировать длину пути, тогда время, необходимое на его прохождение, будет обратно пропорционально скорости…

proporc14

На мой взгляд, лучше познакомить ребенка с прямой пропорциональностью и с обратной пропорциональностью уже в начальной школе. Данные понятия должны постепенно стать такими же привычными и естественными для мышления, как и таблица умножения или действия столбиком. И тогда потом физика и химия будут изучаться намного легче и приятнее.

Фактически, как только дети осваиваются с умножением и делением, то сразу же можно потихоньку знакомиться и с пропорциональностью. Причем как на обычных примерах из жизни, так и специально на некоторых примерах из физики.

И обязательно-обязательно надо при этом хорошенько освоиться и с графиками прямой и обратной пропорциональностей!

proporc15

Итак, надеюсь, я вас убедил в важности данной темы. Надо понять ее и по сути, и в виде формул, и в виде графиков. Надо ее глубоко и надежно осознать – и научиться применять эти знания во всех прикладных физических темах. Да и при решении задач по химии это тоже пригодится. И, конечно, просто в жизни это встречается много где.

В физике (да и вообще в любой науке) очень-очень любят прямую пропорциональность и обратную пропорциональность. Почему? Да потому, что им соответствуют простые формулы и простые графики! С ними удобно обращаться. Их удобно анализировать. Они наглядны и универсальны.

И даже гораздо более сложные формулы ученые часто приближают формулами прямой или обратной пропорциональной зависимости – для оценочных расчетов в каких-то конкретных диапазонах величин, для первоначального понимания явлений, для описания общего хода графиков…

Однако, конечно, дело не только в изучении математики, а затем физики и химии, а также и других наук. Понятие о пропорциональности (прямой и обратной) – это часть естественного культурного багажа для любого человека. Это часть элементарного базового минимума, необходимого каждому из нас.