Построение подобных фигур с детьми
Прекрасное игровое математическое занятие – как только освоены первые навыки сложения чисел и использования линейки с делениями.
В геометрии 8 класса данная тема разбирается тщательно, строго и фундаментально. Однако и чисто интуитивно вполне ясно, что такое подобные фигуры: у них одинаковая форма, а размеры разные.
Даже дошкольник может научиться строить фигуру, которая подобна исходно заданной. И уж точно это доступно ученикам начальной школы!
Проще всего начинать с многоугольников.
Возьмите листочек в клетку и покажите ребенку, что такое два подобных прямоугольника или два подобных треугольника. Просто по клеточкам их постройте. Подробно разберитесь во всех деталях и нюансах данного процесса.
И давайте задания: вы рисуете исходную фигуру, а дети по клеточкам сначала изображают точно такую же фигуру, а затем – подобную ей фигуру.
Кстати, никто не запрещает нам поворачивать многоугольники при построении как угодно. Хотя на первых порах это некоторая дополнительная сложность.
Мы увеличиваем все стороны в одинаковое число раз. Или уменьшаем все стороны в одинаковое число раз. И сохраняем неизменными углы между сторонами.
“Число раз” называется коэффициентом подобия и обычно обозначается маленькой латинской буквой k.
Когда мы увеличиваем фигуру, то k>1.
А когда мы уменьшаем фигуру, то k<1. Но если ребенок еще не знаком с дробями, то достаточно просто сказать: "Уменьшаем в 3 раза". Более старшим ребятам можно объяснить, что коэффициент подобия k бывает и меньше единицы, то есть дробный. И все размеры исходной фигуры умножаются на данную дробь.
Потренировавшись так с прямоугольниками и с простейшими треугольниками, переходим к чуть более сложным ситуациям: трапециям и разным другим четырехугольникам; остроугольным и тупоугольным треугольникам; пятиугольникам и шестиугольникам…
Принцип построения по клеточкам остается точно тот же самый. Требуется лишь внимательность и понимание сути дела.
Полезно поразмышлять, бывают ли типы фигур, которые всегда подобны друг другу. Многие дети и сами догадываются: любые два квадрата подобны!
Любые два круга тоже всегда подобны между собой!
А как для них определить коэффициент подобия?
Можно придумывать упражнения разной степени сложности: по клеточкам рисуем какую-нибудь очень замысловатую фигуру, а ребенок потом строит подобную ей (коэффициент подобия мы указываем заранее).
Прекрасная тренировка для развития образного мышления, внимательности и навыков счета!
Далее надо переходить к построениям и на обычной бумаге – с помощью линейки с делениями.
Существует несколько разных способов. Каждый из них интересен и хорош по-своему. Поэтому полезно познакомиться со всем спектром возможных вариантов.
Обычно нам требуется опорная точка.
Проще всего выбрать в качестве такой точки одну из вершин исходного многоугольника. Из нее мы проводим прямые линии – через все остальные вершины. Конечно, две из этих линий просто совпадают с прилежащими к выбранной опорной точке сторонами.
Сначала тут был четырехугольник ABCD. Я взял в качестве опорной точки его вершину D. Затем продлил линии DA, DB и DC. На них построил новые вершины – на расстояниях в 2 раза больше, чем вершины исходного четырехугольника.
Другой способ: выбрать опорную точку внутри фигуры. Не в одной из вершин и не на одной из сторон. А где-то во внутреннем пространстве.
Дальше мы действуем точно так же: из опорной точки проводим через вершины прямые линии и отмеряем на них расстояния во сколько-то раз больше (или меньше), чем для исходной фигуры. А потом соединяем полученные точки – и строим новый многоугольник.
Но можно выбрать опорную точку и где-нибудь вне исходной фигуры – поближе или подальше.
Суть алгоритма та же самая: мы увеличиваем (или уменьшаем) расстояния каждой из вершин от опорной точки в одинаковое число раз.
Данная схема реализуется, например, если мы помещаем свою руку между маленьким источником света (свечкой или фонариком) и стеной. Тень на стене подобна нашей руке.
Есть еще вариант: строить подобную фигуру по другую сторону от опорной точки (по сравнению с исходной фигурой).
Схема действий та же самая. Но расстояния до новых вершин мы откладываем уже по другую сторону от опорной точки – на продолжениях прямых линий, которые провели от вершин исходной фигуры.
Получается перевернутая подобная фигура.
Кстати, именно по такой схеме работает наш глаз. Да и фотокамера, видеокамера или камера-обскура так создают изображение. Только они его уменьшают.
Вполне возможно строить подобные многоугольники и с помощью транспортира – измеряя углы в исходной фигуре. При этом линейкой мы измеряем длины сторон.
Но более-менее точным данный метод является лишь для треугольников. При большем числе углов быстро накапливается погрешность – и все искажается.
Понятие подобия – очень сущностное в нашей жизни. Подобные фигуры и изображения встречаются нам буквально на каждом шагу. Полезно поговорить с ребенком о примерах из окружающей реальности – природной, технической, художественной, игрушечной… И про географические карты не забудьте!
Разумеется, в занятиях вовсе не обязательно ограничиваться многоугольниками. Можно добавить и элементы окружностей, и еще что-нибудь…
А может быть, вы придумаете и какие-то другие методы построения подобных фигур?
Я всегда рассказываю детям, что подобие важно осваивать не только для изучения математики и физики. Художникам, дизайнерам, архитекторам… тоже важно понимать суть данной темы.
Не каждый ребенок интересуется точными науками. А рисование нравится почти всем. И любому понятно: при изображении дома, человека, машины, собаки или дерева с натуры необходимо уметь точно передавать форму, не искажая пропорций.
Итак, не вдаваясь в строгие определения того, что такое подобные фигуры, не ведя сложные, умные и строго-логичные геометрические разговоры, мы легко можем познакомить ребенка с понятием подобия.
Мой опыт говорит, что это прекрасно работает в занятиях. Детям нравится такая практика, нравится чувствовать, что математика дается им легко, нравится использовать “серьезные математические методы”.
Важно, что построение подобных фигур – очень наглядный процесс. С одной стороны, он логичен и абсолютно упорядочен, он подчиняется четкому алгоритму и ясным правилам. А с другой стороны, он прост, понятен и доступен даже малышам, он интересен и эстетически приятен.
