Папа Карп

Какие вещи из математики нужно начать изучать с детьми сильно заранее? Как лучше подготовиться к средним классам, в которых у школьников возникает особенно много проблем с математикой? Что родители могут сделать для предотвращения этих проблем?

Такие вопросы довольно часто задают многие люди… Особенно те, кто по типу личности и по образованию “гуманитарии”, кто не имеет серьезной профессиональной подготовки в математике и физике, у кого нет опыта преподавания данных дисциплин. Причем это важно как для родителей, выбравших путь семейного обучения, так и для тех родителей, чьи дети посещают школу в обычном режиме. И если начальные классы чаще все же проходят без серьезных проблем с математикой, то в средних классах математика и физика для большинства школьников становятся весьма сложными предметами.

Конечно, очень многие вещи в эффективном преподавании надо нарабатывать годами, в практическом многогранном опыте… Но можно сформулировать и ряд простых рекомендаций, которые легко использовать без особой подготовки. Я выбрал 12 методических моментов – и описал их в данной статье. И написано тут все именно для непрофессионалов, для “гуманитариев”, для неопытных в преподавании родителей.

1. ЧИСЛОВАЯ ОСЬ

Надо понимать, что математика – это не просто навыки устного счета, не просто свод правил и алгоритмов (типа вычисления столбиком), а большая и стройная система. И важно приучать ребенка уже с первых классов видеть ее именно как ясную логическую систему.

Например, очень ценный образ в данном плане – это числовая ось. Все числа, которые мы постепенно изучаем в школе, укладываются на эту ось, это точки числовой оси. Такие картинки надо в изобилии рисовать – чуть ли не по любому поводу, во всех классах, начиная с первого. Числа от 1 до 10, числа до 100, числа до 1000, таблицу умножения, дроби… – все это можно (и нужно!) изучать с привязкой к расположению этих чисел на оси, то есть как некую единую систему чисел. Главное – ребенок должен понять, как устроена эта система чисел, каковы ее принципы организации, как в ней ориентироваться.

Сложение – это “прыжок по числовой оси вправо”. А вычитание – это “прыжок по числовой оси влево”. А умножение как получается? Как идут на числовой оси четные числа? А нечетные? Какое число расположено между числами 14 и 16? Какое число идет перед числом 53?.. Ответы на все подобные вопросы ребенку очень легко понять по картинке.

В начальной школе надо просто нарисовать числовую ось. Или хотя бы цепочку чисел от 1 до 100. И прямо по ней проводить занятия. Можно эту цепочку чисел и изгибать, лишь бы понять суть дела. Но все же и образ именно прямой числовой оси важно осознать, важно к нему привыкнуть. Это математическая абстракция, она далеко не сразу делается ребенку близкой и понятной. Как раз за начальные классы и можно с ней освоиться.

И тут же совершенно естественно немного рассказать ребенку и про отрицательные числа. Ведь надо просто “отправиться от числа 0 по прямой в другую сторону”. И на градуснике спиртовом, который за окном показывает температуру воздуха, это тут же можно (и не раз!) рассмотреть. Вот сейчас у нас 5 градусов выше нуля, а сколько будет градусов, если температура понизится на 10 градусов? Прямо по термометру и посчитать можно… Так мы математическую абстракцию, математическую систему свяжем с реалиями жизни, вполне понятными для ребенка. И к 5 классу (когда по школьной программе начинают изучать отрицательные числа) все будет уже не так непривычно.

Изучая дроби, мы можем показывать их не только как “кусочки пирога или яблока”, но и, опять же, как точки на числовой оси. Где будет на оси расположено число “пять с половиной”? Если это не очень ясно, то можно снова взглянуть на градусник за окном…

Обратите внимание: тут цель не в том, чтобы в начальной школе научить ребенка полноценно действовать с отрицательными или дробными числами. Надо лишь показать систему чисел – числовую ось. А все правила действий с числами разных типов – это оставить для тщательной проработки в соответствующих более старших классах. Стратегическая цель – выработка системного логического мышления. Числовая ось является одной из основ математики.

2. ДРЕВНЕГРЕЧЕСКИЕ ПРИСТАВКИ

Очень простое дело: надо хорошенько объяснить ребенку уже в начальной школе значение слов “милли-”, “кило-”, “мега-”, “санти-”, “микро-”, “гекта-” и т.п. Причем важно их учить именно как отдельные слова, а не просто привыкать, что “миллиметр – это одна тысячная доля метра”. Использование стандартных приставок в единицах измерения – это очень удобная и универсальная система. Она охватывает кучу конкретных вариантов. Но самих приставок очень немного. Поэтому логичнее и намного эффективнее будет запомнить именно их – просто как запоминаем значения иностранных слов.

То есть не надо запоминать отдельно, что “километр – это тысяча метров”, а “килограмм – это тысяча грамм”. Надо запомнить, что “кило-” означает “тысяча”. Потому как далее будут еще килопаскали, килоджоули, киломоли, килоньютоны, килоамперы, килокалории, киловатты, киловольты…

Точно так же надо просто выучить (как мы учим значения английских слов “dog” и “cat”): “милли-” – это одна тысячная; “микро-” – это одна миллионная; “мега-” – это миллион; “санти-” – это одна сотая; “деци-” – это одна десятая; “гекта-” – это сто. В общем-то, наверное, этого набора приставок и достаточно для школьника в начальных классах.

Казалось бы, очень простая тема. Но удивительно, как много школьников в средних классах, решая задачи по физике и по химии, путаются в значениях этих древнегреческих приставок! И это отвлекает и мешает понимать физику и химию.

Здесь мы снова должны четко осознавать, что математика – это не набор фактов и определений, а строгая и стройная логическая система. И уже в начальной школе целесообразно не просто заучивать определение сантиметра или килограмма, а давать ребенку системное понимание того, как в математике, физике, химии и других научных дисциплинах принято обозначать единицы измерения, как при этом используются древнегреческие приставки.

Я считаю, что очень даже неплохо будет, если прямо в начальных классах и рассказать ребенку, что потом значения этих приставок ему еще встретятся в более старших классах, что это весьма важное знание. И очевидно, что запомнить значения всего нескольких древнегреческих слов не составит труда.

3. КИРПИЧИКИ

Есть такой фундаментальный объект – прямоугольный кирпич. Это древнее изобретение человечества. Это удивительно простая и в то же время удивительно универсальная конструкция. Я даже подозреваю, что кирпич архетипичен…

Навык рисования кирпича (или кирпичика) – важнейшая компонента правильного развития образного мышления у любого человека. И поэтому надо каждого ребенка этому научить. Можно, конечно, это сделать и в дошкольном возрасте. Но в крайнем случае – в начальной школе.

Почему так важно уметь изобразить кирпич? Ну, это такая простая и базовая функция нашего логического образного мышления. Здесь картинка объемного предмета соединена с ясной логикой. Это сразу же дает ключ к очень многим образно-логическим конструкциям, гораздо более сложным, которые потом в школе и в жизни вообще встречаются нам во многих ситуациях. Через рисование простейшей схематичной картинки кирпичика ребенок усваивает принцип изображения любого объекта, любой композиции объектов. Получается, что кирпичик – это один из важнейших предметов нашего мира. Его надо глубоко понять.

Ясное дело, поначалу удобнее рисовать кирпичики на бумаге в клеточку. Но потом можно перейти и к эскизному рисованию без клеточек.

Для таких занятий вы можете использовать любые прямоугольные деревянные брусочки или же кирпичики из других материалов. Можно взять и какой-то обычный предмет типа ящика или шкатулки… Ребенку важно повертеть кирпичик, подержать его в руках, рассмотреть с разных сторон.

Простое правило: “уходящие вглубь картинки ребра кирпичика” (идущие наискосок под углом 45°) надо по длине уменьшать вдвое, а другие ребра надо рисовать той же длины, какие они есть в реальности. Тогда картинка будет похожей на то, как мы видим объект в жизни. Это правило черчения. Но есть еще дополнительное к нему правило рисования: для более полного ощущения перспективы надо слегка сводить уходящие вглубь картинки линии – как сходятся рельсы железной дороги вдали.

Мы можем показать ребенку, как много объектов вокруг – больших и маленьких – “устроены по принципу кирпичика”. Толстая книжка, спичечный коробок, многоэтажный городской дом, шкаф в нашей комнате, железнодорожный контейнер, старый знакомый чемодан, упаковка молока из магазина, бабушкин сундук в деревенском доме… И ребенок сразу же увидит, как он может рисовать все эти объекты, в чем принцип изображения.

Если говорить об изучении школьной математики, то совершенно очевидно, что понимание способа нарисовать брусок прямоугольной формы в объемном виде – это очень важно, это встречается на каждом шагу. Поэтому необходимо уверенное и привычное знание данного принципа, им надо без проблем владеть.

4. СИСТЕМА КООРДИНАТ

Один из лучших подарков, который можно сделать ученику начальных классов для того, чтобы у него было гораздо меньше проблем с математикой и с физикой далее в средних и старших классах, – это как следует подружить его с прямоугольной системой координат на плоскости.

Данная тема настолько наглядна и проста по своей сути, что не представляет никакой сложности объяснить ее даже дошкольнику, а уж тем более младшему школьнику. Отрицательные числа здесь видны как на ладони. Рисовать в системе прямоугольных координат звездочки, человечков, бабочек и потом вместе с детьми определять их координаты – это весело и интересно! И можно игры всякие придумывать. Например: “Вот прыгнул кузнечик с точки с координатами (4; 6) на 5 клеточек влево. Какие у него теперь координаты?”

Особо обратите внимание ребенка на связь идеи математической прямоугольной системы координат на плоскости и метода географических координат. Возьмите глобус и все на нем разберите.

Когда в 7 классе дело дойдет до изучения математических функций и до построения графиков различных физических величин, то школьник должен легко ориентироваться в самой идее прямоугольных координат. Фактически, она так же важна, как таблица умножения или понятие о числовой оси. И лучше привыкнуть заранее к этой фундаментальной математической абстракции. Это основа для изучения очень многих тем.

Кроме того, сам графический образ прямоугольной системы координат – это очень хорошая и полезная картинка. Она логична и понятна. Она как бы задает координаты не только на плоскости, но и в нашем восприятии, в нашем воображении, в нашем образном мышлении. Она упорядочивает исходное природное свободно-хаотическое мироощущение, задавая вот такой вариант четкой логической сетки. То есть развивает психологическую основу системного логического мышления.

На мой взгляд, в начальной школе лучше не увлекаться слишком аккуратным рисованием системы координат строго по клеточкам. В этом нет нужды. Можно просто изобразить достаточно свободными почти прямыми линиями оси координат и примерно отметить на них числа. Главное – чтобы ребенок понял принцип, привык к нему. И не жалейте пространства – на бумаге или на маркерной доске, или на утрамбованной земле на уличной площадке…

Математика – это единая стройная система. И прямоугольные координаты являются одной из самых существенных основ данной системы.

Не лишним также будет и хотя бы упомянуть про то, что самое-то главное – это, конечно, прямоугольные координаты в пространстве, то есть с тремя осями. Именно так мы можем точно задавать положение любых объектов – от летающей по нашей кухне мухи до космического корабля, мчащегося по космосу.

Я, конечно, рассказывал своим детям и про другие системы координат – цилиндрическую и сферическую. Это очень полезно для расширения представления о том, что такое координаты вообще. И просто интересно.

5. УГЛЫ И ГРАДУСЫ

Это, казалось бы, такая очевидная тема… Но важно не просто пройти ее в начальной школе, а сформировать у ребенка устойчивое понимание, устойчивое образное представление круга, разделенного на градусы. Причем некоторые углы надо хорошенько осознать: 180°, 90°, 45°, 60°, 30°. Надо понять, как они получаются (делением 360° пополам или на четыре части, или делением 90° пополам или на три части). И необходимо четко привыкнуть к расположению этих углов на круге. Никаких сомнений! Абсолютно ясно!

Важно донести до сознания детей эту систему – обозначения и измерения углов. Она будет потом использоваться в школе в самых разных вариациях. Причем не только в математике, но и в физике. И вплоть до 11 класса.

Основная ошибка, которая тут часто возникает, состоит в том, что данная простая тема изучается наспех, неглубоко, ненадежно. Вроде бы понял ребенок – ну и пошли дальше, к другим темам по программе… А чего тут не понять? Вот круг, вот договорились разделить его на 360°, вот так измеряются углы с помощью транспортира…

А на самом деле нужно с 1 класса и до 6 класса довольно часто обращаться к теме углов и градусов, вспоминать ее, прорабатывать в разных вариантах, в связи с разными другими темами из математики, природоведения, географии… Хождение по азимуту, высота солнца над горизонтом, координаты необитаемого острова из книжки, румбы на морском компасе, угловое расстояние между двумя звездами на небе, уклон детской горки во дворе… – все это повод вспомнить про измерение углов, ощутить их величины, сделать это чем-то привычным и родным.

И тогда к 7 классу, когда начинается геометрия, все будет уже хорошо подготовлено. И далее в тригонометрии все будет проще понимать и решать.

6. КВАДРАТНЫЙ ДЕЦИМЕТР

В голове каждого школьника должна крепко-накрепко засесть эта картинка: квадрат со стороной 1 дм разделен на 100 маленьких квадратиков, сторона каждого из которых равна 1 см. Это обязательно. Любой ученик в любое время при необходимости должен уметь легко представить ее в своем воображении. И это пригождается весьма и весьма часто.

Для чего это нужно? Чтобы всегда уверенно переводить одни единицы площади в другие. В данном случае – переводить квадратные дециметры в квадратные сантиметры и наоборот.

Однако важно именно понять принцип устройства этой простой картинки. И тогда его можно применять и во многих других случаях. Например, представить в голове квадрат со стороной в 1 км и легко сообразить, сколько в нем будет квадратиков со стороной 1 м (то есть сколько в одном квадратном километре квадратных метров). Таких квадратиков там будет 1 000 000 штук, да?

Математика устроена на небольшом количестве универсальных логических принципов. Это именно логическая система, а не просто набор сведений. Важно понять суть этой системы. И тогда ученик получает ключ сразу ко множеству самых разных ситуаций, задач, примеров.

Сколько существует разных единиц для измерения площади? Их очень много: 1см2, 1 дм2, 1 м2, 1 км2, 1 мм2, 1 га, 1 ар, 1 мкм2… Но нам нет нужды запоминать все многочисленные соотношения между ними. Достаточно запомнить принцип – и представлять в уме картинку такого типа, как мы используем для квадратного дециметра. И тогда мы всегда уверенно сосчитаем все, что требуется в конкретной ситуации.

Особенно важно это делается в физике. Расчеты массы, плотности, объема, давления, энергии… – все это требует уверенного перевода одних единиц измерения площади в другие. На этом не должно застревать внимание, тут не должно быть никаких сбоев.

Да и просто по жизни нередко бывает нужно перевести, скажем, квадратные метры в гектары или гектары в квадратные километры… Лично я до сих пор просто каждый раз представляю в голове такую модельную картинку – и по ней соображаю, как подсчитать то, что мне нужно.

А можно для детишек нарисовать квадратный дециметр на миллиметровой бумаге. Тогда будут сразу видны и маленькие квадратные миллиметрики. И можно будет наглядно сосчитать, сколько их помещается в квадратном сантиметре. И сколько квадратных миллиметров в квадратном дециметре, мы тоже легко по такой картинке сообразим.

Вообще при изучении математики очень важны картинки. И картинка с квадратным дециметром – одна из главных.

7. КОМПОЗИЦИИ ИЗ КИРПИЧИКОВ

Есть такая развивающая игра для дошкольников и младших школьников, которую придумал Б. П. Никитин. Она называется “Кирпичики” и предназначена для выработки начальных навыков черчения и вообще для развития образного логического мышления. Я со своими детьми много в нее играл. И даже всякие дополнения и усложнения к ней придумывал. Очень полезная штука! И ее легко сделать в домашних условиях, кстати.

Но если кто-то не хочет так сильно погружаться в данную развивающую игру, то можно ограничиться просто рисованием композиций из кирпичиков. То есть не учиться делать чертежи в трех проекциях, а просто тренироваться рисовать объемные изображения групп кирпичиков. Это тоже будет очень полезно – и для развития пространственного логического мышления, и как элемент системы математического образования, и для общего интереса к математике и потом к черчению. И даже для тренировки навыков художественного рисования это очень пригодится.

Я уже написал многое на данную тему, когда говорил о рисовании одного кирпичка. И все написанное там относится и сюда. Существенное дополнение состоит именно в разнообразии взаимного расположения кирпичиков в группе – вплотную друг к другу или на некотором расстоянии.

Для начала лучше использовать одинаковые кирпичики стандартных пропорций (высота, ширина и длина относятся как 1:2:4). Например: 2 см, 4 см и 8 см. Их можно отпилить от бруска прямоугольного сечения или же склеить из картона. Такие кирпичики удобно складывать друг с другом по-разному, создавая множество интересных и в то же время понятных и логичных конструкций.

Но в принципе, конечно, никто не мешает нам использовать и самые разные прямоугольные брусочки для таких занятий. Может, кому-то это даже и интереснее будет…

Надо поставить композицию – и предложить ребенку нарисовать объемное изображение. И усложнять задания постепенно. Естественно, на первых порах детям требуется помощь. Надо вместе подробно рассматривать композицию с разных сторон, размышлять над ней, обсуждать последовательность создания изображения по этапам… Важно научить ребенка именно принципу рисования объемных эскизов, научить его “думать в объеме”.

Дело в том, что и математика, и физика, и даже химия требуют как раз мышления в образах. Голая логика работает плохо. Гораздо лучше, когда логическому мышлению есть за что зацепиться. И важно выработать не только художественное объемное мышление, но и чисто логическое, схематичное. Это, по сути, две стороны одного процесса.

Еще более простой вариант данной темы – это композиции из одинаковых кубиков. Причем, конечно, можно использовать и кубики разного цвета, чтобы было веселее.

Хотя в школьном курсе математики все эти штуки практически не акцентируются, надобность в пространственном логическом мышлении присутствует почти во всех классах. Так что его надо развивать особо.

8. КУБИЧЕСКИЙ ДЕЦИМЕТР

Я уже рассказывал тут про квадратный дециметр. Все то же самое можно сказать и про кубический дециметр, и про все единицы измерения объема.

Главное – вот эта модельная картинка, которую надо хорошо понять и при необходимости представлять в голове.

Но если про измерение площадей и про перевод одних единиц площади в другие в курсе математики речь заходит довольно часто (и в начальных классах, и в 5-6 классах), то аналогичная работа с единицами измерения объема ведется до 7 класса крайне мало и нерегулярно. А когда в 7 классе начинается физика, то ученики обычно совсем не готовы легко переводить, скажем, кубические сантиметры в кубические метры или в кубические километры. А ведь уже в самых первых темах по физике требуется уметь это делать легко и свободно. Без этого даже такая простая и базовая тема, как плотность, превращается в хаотическую непонятную кучу проблем…

В школе мы используем не так уж много разных единиц для измерения объема тел: 1мм3, 1 см3, 1 дм3, 1 м3, 1 км3. И вместо того, чтобы запоминать ужасно сложные и разнообразные соотношения между ними, достаточно понять принцип перевода одних единиц в другие. Он зашифрован в простой картинке кубического дециметра. Его легко запомнить и легко использовать.

Итак, пожалуйста, познакомьте детей уже в начальной школе с данной картинкой. Разберитесь с ней хорошенько. Пусть ребенок ясно и глубоко поймет суть дела. И тогда это уляжется в голове навсегда. Особенно если периодически подкреплять это практическими заданиями, хотя бы иногда.

Обратите внимание: если картинка квадратного дециметра вполне наглядна и ну совершенно ясна, то для понимания картинки кубического дециметра все же требуется некоторое пространственное воображение, это не так просто. Поэтому здесь уместно по шагам показать ребенку. Вот мы берем маленький кубик со стороной 1 см, это кубический сантиметр. Затем мы укладываем в ряд 10 таких кубических сантиметров (и нарисовать это). Затем мы укладываем один слой таких кубиков маленьких (и, опять же, нарисовать это). Сколько их будет в одном нижнем слое? Ага, их там уже 100 штук! А теперь нарисуем все 10 слоев (”этажей”) из маленьких кубиков. Сколько их всего в этом большом кубике, в кубическом дециметре?

Базовая логика пространственных соотношений здесь может быть буквально разложена по полочкам. Ее нужно спокойно проработать – и она станет фундаментом для изучения многих тем в физике и в математике потом.

9. ЕДИНИЦЫ СКОРОСТИ

В различных задачках по математике довольно часто встречаются ситуации, когда нужно переводить скорость из одних единиц измерения в другие. Но когда дело доходит до физики в 7 классе, данный навык становится очень-очень важным. И той базы, которая была отчасти выработана в более ранних классах, далеко не всегда хватает. Тем более что в курсе физики, как само собой разумеющееся, имеется в виду, что все эти “мелкие вопросы” с переводом времени, расстояния и скорости из одних единиц в другие давно и хорошо проработаны в начальных классах. В физике на это почти не выделяется времени. Надо ведь уже изучать физику, а не возиться с базовыми математическими понятиями…

Но далеко не так уж просто для школьников осваивать все эти многочисленные переходы. Поэтому гораздо лучше озадачиться уже в самых первых классах по данному вопросу. Причем такие задачки вполне можно решать и устно, в уме. Можно подбирать для них простые числа, чтобы считать было легко. Главное – освоить принципы перехода от одних единиц к другим, железно приучиться решать задачу в одних согласованных единицах. Тренироваться можно и на прогулке, и в транспорте, и стоя в очереди, и во время поездки в машине…

Задачи типа “Может ли муха, летящая со скоростью 2 м/с, догнать велосипедиста, который едет со скоростью 15 км/ч?” должны решаться легко и весело. Но для этого надо немало потренироваться. Это требует упорного и системного тренинга. И это полезно не только с точки зрения будущего изучения физики, но и, конечно, просто как общее развитие логического мышления.

И вот еще что важно. В физике используется много составных единиц измерения: плотность измеряется в кг/м3 или в г/см3; давление измеряется в Н/м2; мощность измеряется в Дж/с; ускорение измеряется в м/с2 и т.д. Освоив переходы из одних единиц скорости в другие, ученик уже и с прочими составными единицами измерения будет обращаться гораздо более уверенно.

Не забудьте попрактиковаться и с более крупными единицами времени: дни, месяцы, годы, века… Для летящих по космосу ракет или планет это весьма важно. С какой скоростью Земля мчится по своей орбите вокруг Солнца, если расстояние от Земли до Солнца равно 150 000 000 км?

Понимание соответствия между различными единицами измерения расстояния, времени и особенно скорости – это один из важнейших навыков в математике и в физике. Это часть общей системы научного описания мира. Правила тут просты. Но их сложно сформулировать кратко. Поэтому их лучше просто осваивать в практике.

10. ПОНИМАНИЕ ФОРМУЛ

Несмотря на то, что в математике начальных классов и 5-6 классов проходят некоторые формулы, все же к 7 классу очень многие школьники приходят с недостаточным пониманием того, что же это за штука такая – формула. А изучение и алгебры, и геометрии, и физики, и потом химии – все это очень глубоко связано именно с оперированием формулами, с пониманием формул. Это некий системный навык, который сложно выделить для отдельного изучения… Но тем не менее на нем держится очень-очень многое.

Вообще, лично для меня, во всем этом есть некая магия… Вот провели мы физический эксперимент, получили некую формулу из этого эксперимента, которая связывает некоторые физические величины друг с другом (то есть мы открыли некий закон природы). А потом с помощью математических действий преобразуем эту формулу, комбинируем ее с другими формулами – и хоп! – получаем некие новые знания о поведении природы, которые проверяем на эксперименте… И убеждаемся, что все работает! По-моему, это удивительно!

Но для начала, конечно, нужно просто научиться обращаться с математическими и физическими формулами. Надо понять принцип, логические правила – как мы преобразуем формулы, как их комбинируем, как применяем для решения разных задач.

Важно понять: формула – это связь между величинами. И если мы знаем все величины в этой формуле, кроме одной, то мы можем найти и неизвестную.

Вот, например, формула скорости. Скорость – это путь разделить на время. Это определение скорости. Но мы можем преобразовать эту формулу и выразить из нее время через скорость и через путь. И уже можем ответить на вопрос: “За сколько часов машина проедет 1000 км, если она движется со средней скоростью 50 км/ч?” А можем из формулы скорости выразить расстояние, можем вычислять его на основе знания скорости и времени. И вот мы уже отвечаем на вопрос типа: “Сколько проедет велосипедист за 5 часов, если его скорость равна 20 км/ч?”

Важно, чтобы ученик не только привыкал “действовать по формуле”, но и хорошо понимал смысл того, что он делает при этом. Мышление формулами – это совсем иной тип мышления, нежели навыки счета по алгоритмам, с которых начинается изучение математики в начальных классах. Формула позволяет нам делать вычисления сразу для многих возможных ситуаций, а не только для тех конкретных чисел, которые даны в одной конкретной задаче.

Есть некий парадокс: хотя вся математика и вся физика построены в основном на формулах, до 7 класса учатся в основном по алгоритмам. Отсюда, в частности, и возникает тот ворох проблем, который “вдруг” появляется в средних классах с точными науками. Просто это уже новый тип мышления, это более высокий уровень логики. И без предварительной многолетней подготовки сложно так быстро совершить этот скачок.

Поэтому целесообразно тщательно прорабатывать навык обращения с формулами и их преобразования для поиска неизвестных величин. Формула скорости, формулы площади и периметра для квадрата и для прямоугольника, формулы длины окружности и площади круга, формула пропорции… – все это повод потренироваться, осознать суть этого математического инструмента.

11. ПРИКИДОЧНЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ

В начальной школе детей учат считать точно. В 5 классе немножко проходят округление чисел. Но в целом школьники привыкают иметь дело именно с точными вычислениями типа 45 + 12 = 57 или 1,3 + 6,3 = 7,6 (то есть когда мы учитываем все данные нам цифры в числах). А приближенные вычисления являются как бы своеобразной экзотикой, чем-то редким и странным.

А в жизни и в науке как раз все наоборот. Главное – это приближенные измерения и приближенные вычисления. Действительно, свой рост мы измеряем не точно, а именно приближенно. И вес морковки в магазине. И расстояние от нашего дома до автобусной остановки. И дистанцию от Земли до Луны или до Марса. И скорость машины, в которой мы едем. И силу тока в проводах…

Важно объяснять детям такие вещи с самого начала. И важно приучать понимать в каждой конкретной ситуации, с какой степенью точности целесообразно вести подсчеты. Ведь измерять, скажем, рост человека с точностью до тысячных долей миллиметра – это вряд ли разумно…

Кроме того, чрезвычайно важно научить ребенка делать прикидочные вычисления. То есть надо уметь очень приближенно оценить величину ответа в примере – пусть и с большой погрешностью, но зато быстро и уверенно. Например, как на картинке к данной статье. Во многих жизненных ситуациях это как раз и нужно сделать, причем или в уме, или с использованием бумажки и ручки, но без калькулятора и без долгих вычислений столбиком. Пусть мы ошибемся в полтора раза, но мы все же оценим величину ответа.

В частности, данный навык очень помогает для самоконтроля при решении всех школьных заданий. Легко ошибиться с постановкой запятой или в долгих подсчетах столбиком… Но если мы примерно (очень грубо) можем оценить величину ответа, который должен получиться, то сразу же и увидим ошибку, если вдруг полученный точный ответ отличается от этой грубой приближенной оценки в 10 или в 100 раз. Я приучал своих детей с начальных классов делать такие ориентировочные оценки ответа. И это потом пригождается всю школу. Наверное, нет смысла в каждом решаемом примере стараться заранее приближенно оценить результат, который мы можем получить… Но совершенно точно надо уметь это делать! И особенно – во время ответственных тестов, на контрольных, на экзаменах. Это важный навык самопроверки.

Если говорить о настоящей физике (которую изучают в продвинутых вузах и которую делают ученые), то там умение быстро оценить приближенный масштаб величин – это просто один из ключевых моментов. Это входит в стиль мышления любого профессионального физика.

Но и в школьной физике важно понимать: избыточная точность вычислений – это почти всегда чушь, это неграмотно, это не соответствует реальным погрешностям измерений величин, это вообще не нужно. То же и в химии, конечно. Если мы решаем задачу на закон Архимеда и вычисляем там массу большого судна, то подсчитывать ее с точностью до граммов явно незачем.

И здесь есть еще один очень существенный момент. Когда ученик излишне волнуется о точности подсчетов, то на понимание сути дела остается гораздо меньше внимания, времени и живого интереса. Лучше решить десять задач на движение поездов с очень приближенными вычислениями, чем решить одну задачу, но с очень точными подсчетами. Главное – мы должны тренировать логику, умение думать, умение решать разные задачи. И это гораздо веселее, чем нудно считать столбиком с точностью до пяти знаков после запятой…

Да, надо освоить сначала навык точных вычислений, разумеется. Это база. Но на этой базе далее надо не зацикливаться, а научиться считать приближенно. Это гораздо более важный навык. И он гораздо ближе к практике.

12. ПРИВЫЧКА РИСОВАТЬ КАРТИНКИ

Одна из самых больших ошибок, которую совершают дети и взрослые при изучении математики и физики, состоит в пренебрежении к рисованию картинок. А рисовать картинки надо обязательно – везде, где это только возможно!

Конечно, если мы хотим просто решить длинный пример во много действий или перемножить два многочлена, или сосчитать столбиком произведение двух чисел, или решить простое уравнение, или использовать тригонометрическую формулу для синуса двойного угла… – в таких ситуациях картинки нам не нужны. Достаточно просто действовать по стандартным алгоритмам, четко и аккуратно. Но в очень и очень многих задачах, примерах, неравенствах, уравнениях использование картинок – это ключ к правильному и осознанному решению. Иногда хорошая картинка – это уже 50-70% успеха.

Часто спрашивают, почему школьная математика так сложна в изучении для большинства детей и подростков. Одна из главных причин – это то, что ее традиционно принято учить без достаточного количества картинок. Особенно это касается математики в начальных классах и в 5-6 классах, а затем алгебры. В геометрии как раз картинки используются, так что и осваивать ее школьникам обычно легче. А уж физику без картинок изучать – это почти невозможно!

Хорошие преподаватели математики и физики, конечно же, прекрасно понимают, как важны картинки, и активно используют их в своих уроках, уделяют им самое серьезное внимание.

В учебниках есть жуткое ограничение: надо экономить бумагу. Поэтому традиционно иллюстрации – это лишь крошечная часть предлагаемого в учебниках материала. Но при занятиях дома или в школе нам ничто ведь не мешает рисовать большие картинки – и много! Нам нет нужды экономить бумагу.

Важно понимать: мы рисуем не художественное произведение, которое “не стыдно людям показать”. От нас вовсе не требуется навыков художника-оформителя. Главное в учебной картинке – это ясность, выразительность, смысл.

Но еще более важно приучать школьников самостоятельно активно использовать картинки при решении задач. Я всегда так и говорю ученикам: “Сначала нарисуй картинку, чтобы понять, что происходит в задаче и что от тебя требуется!” Это должно стать почти автоматическим навыком. Это правильный стиль логического системного мышления. Простая, схематичная, крупная картинка к задаче – это сразу же дает базу для понимания и для верного направления в поисках решения.

Обычно исходные данные задачи удобнее подписывать прямо на рисунке. Так удобнее думать. Это очень естественно.

И четко держите в голове: хорошие картинки – это мощный инструмент для оптимизации изучения в школе математики, природоведения, физики и химии. Правильное логическое мышление опирается именно на образное мышление. Наглядная картинка – это много лучше, чем долгие и нудные объяснения умными словами. А еще лучше, если картинка будет слегка забавной!